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文章出处: 浏览次数:发表时间:2021-02-22 01:50
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《高中数学必修1》是高中生必须学习的一门课程书籍。小编准备了高一数学必修1知识点,希望你喜欢。

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性:

(1)元素的确定性如:世界上最高的山

(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示:{ } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列举法与描述法。

注意:常用数集及其记法:X Kb 1.C om

非负整数集(即自然数集) 记作:N

正整数集 :N*或 N

整数集: Z

有理数集: Q

实数集: R

1)列举法:{a,b,c}

2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{xR|x-32} ,{x|x-32}

3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

4) Venn图:

4、集合的分类:

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1.包含关系子集

注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.相等关系:A=B 5,且55,则5=5)

实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同则两集合相等

即:① 任何一个集合是它本身的子集。AA

② 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)

③ 如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数:

有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作A交B),即A B={x|x A,且x B}.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作A并B),即A B ={x|x A,或x B}).

设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

记作 ,即

CSA=

质 A A=A

A

A B=B A

A B A

A B B

A A=A

A =A

A B=B A

A B A

A B B

(CuA) (CuB)

= Cu (A B)

(CuA) (CuB)

= Cu(A B)

A (CuA)=U

A (CuA)= .

二、函数的有关概念

1.函数的概念

设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| xA }叫做函数的值域.

注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);

②定义域一致 (两点必须同时具备)

2.值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:

在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .

(2) 画法

1.描点法: 2.图象变换法:常用变换方法有三种:1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示.

5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f(对应关系):A(原象) B(象)

对于映射f:AB来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

补充:复合函数

如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=f[g(x)]=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意:函数的单调性是函数的局部性质;

(2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法:

(1)任取x1,x2D,且x1

(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

(3)变形(通常是因式分解和配方);

(4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

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(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:同增异减

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)

(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2)奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

9.利用定义判断函数奇偶性的步骤:

○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;

○2确定f(-x)与f(x)的关系;

○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x) f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

10、函数的解析表达式

(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:1.凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法

11.函数最大(小)值

○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

○2 利用图象求函数的最大(小)值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

第三章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 1,且 *.

负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 。

当 是奇数时, ,当 是偶数时,

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质

(1)

(2)

(3) .

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a1 0

定义域 R 定义域 R

值域y0 值域y0

在R上单调递增 在R上单调递减

非奇非偶函数 非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在[a,b]上, 值域是 或 ;

(2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;

(3)对于指数函数 ,总有 ;

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:

一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( 底数, 真数, 对数式)

说明:○1 注意底数的限制 ,且 ;

○2

○3 注意对数的书写格式.

两个重要对数:

○1 常用对数:以10为底的对数 ;

○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .

指数式与对数式的互化

幂值 真数

= N = b

底数

指数 对数

(二)对数的运算性质

如果 ,且 , , ,那么:

○1

○2

○3 .

注意:换底公式: ( ,且 ; ,且 ; ).

利用换底公式推导下面的结论:(1) ;(2) .

(3)、重要的公式 ①、负数与零没有对数; ②、 , ③、对数恒等式

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0, ).

注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

○2 对数函数对底数的限制: ,且 .

2、对数函数的性质:

a1 0

定义域x0 定义域x0

值域为R 值域为R

在R上递增 在R上递减

函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0)

(三)幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0, )都有定义并且图象都过点(1,1);

(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;

(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.

第四章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。

即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.

3、函数零点的求法:

○1 (代数法)求方程 的实数根;

○2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数 .

(1)△0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点.

(2)△=0,方程 有两相等实根,二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

(3)△0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.

5.函数的模型

高一数学必修1知识点就为大家介绍到这里,希望对你有所帮助。

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